Wahrscheinlichkeitsrechnung II – Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeit ist ein Maß der Gewissheit. Die Zeit spielt hierbei fast keine Rolle: Hält man etwas für wahrscheinlich, ist man sicher, dass etwas Vergangenes gewesen, etwas Gegenwärtiges ist oder etwas Zukünftiges sein wird. Seit Jahrhunderten versucht man allerdings eine streng mathematische Definition für den Begriff Wahrscheinlichkeit zu finden. Bisher stechen nur drei Versuche hervor.

Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen

Zunächst wollen wir jedoch annehmen, dass 60% der Deutschen blond, 30% braun- und 10% schwarzhaarig sind. Sind die relativen Häufigkeiten der Elementarereignisse bekannt, kann man sie als Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm verwenden. Möchte man die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses bestimmen, muss man nur entlang seines Pfades multiplizieren (1. Pfadregel):

Baumdiagramm Wahrscheinlichkeit

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ist immer gleich 1.

Wahrscheinlichkeit von Ereignissen

Möchte man die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses bestimmen, muss man nur die Wahrscheinlichkeiten aller zu diesem Ereignis gehörenden Ergebnisse addieren (2. Pfadregel):

Baumdiagramm Ereignis

Es ist zu 46% sicher, dass wir zwei Menschen mit gleicher Haarfarbe ziehen.

Sonderfall 1 – Laplace Experiment

Sind alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich spricht man in Andenken an den französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace von einem Laplace Experiment, da er sich vor allem mit Wahrscheinlichkeiten von Glücksspielen beschäftigte. Das Werfen von Würfeln, Ziehen von Karten mit Zurücklegen und Drehen eines Glücks- oder Rouletterades gehören zu den typischen Beispielen eines Laplace Experiments.

Laplace

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann man auf die Pfadregeln verzichten und statt dessen folgende Formel benutzen: |E| / |Ω| (Mächtigkeit des Ereignisraums geteilt durch die Mächtigkeit des Ergebnisraums).

Als Beispiel nehmen wir den Wurf eines Würfels. Wie Wahrscheinlich ist das Ereignis „Würfeln einer 1“?

Baumdiagramm Laplace

Wie wahrscheinlich ist das Ereignis „Würfeln einer 1 oder 3“?

Baumdiagramm Laplace 2

Dieser Trick funktioniert auch bei mehrstufigen Laplace Experimenten:
Wie wahrscheinlich ist beim 3-fachen Münzwurf das Ereignis „3 x Wappen“?

Baumdiagramm Laplace 3

Sonderfall 2 – Bernoulli Experiment

Gibt es bloß zwei Elementarereignisse ist jedes Ergebnis eines Ereignisraums gleichwahrscheinlich.

Als Beispiel dient das 3-malige Bogenschießen mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von p = 70%.
Wie wahrscheinlich ist das Ereignis „2 Treffer“?

Baumdiagramm Bernoulli

Nach der 2. Pfadregel müssen wir die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse addieren. Da wir immer wieder dieselbe Zahl addieren kann man die Addition durch eine Multiplikation ersetzen:

Bernoulli Formel

Beispiel 2: In der Produktion von Schrauben rechnen wir mit einer Ausschussquote von 2%.
Wie wahrscheinlich ist bei der Entnahme von 100 Schrauben das Ereignis „5 Schrauben defekt“?

n = 100 Versuche
k = 5 Defekte Schrauben
p (k) = 2% = 0,02Bernoulli Formel Beispiel

Bei Versuchen ohne Zurücklegen ändert sich die Formel, was man gut mit dem Urnenmodell veranschaulichen kann:

Urnenmodell

Sonderfall 3 – Zu viele Pfade

Ist absehbar, dass das Baumdiagramm unüberschaubar viele Pfade enthalten wird, ist dennoch zu empfehlen, sich zumindest die ersten beiden Stufen des Experiments per Baumdiagramm zu veranschaulichen.

Laplace Experimente solcher Art (mit beliebig großer Mächtigkeit) werden standardgemäß mit der abzählenden Kombinatorik gelöst (siehe nächsten Artikel).

Wahrscheinlichkeitsbegriff

Seit Anbeginn – Subjektivistische Wahrscheinlichkeit

Die intuitive oder auf individuelle Erfahrung basierende Einschätzung von Gewissheit wird seit jeher tagtäglich von Mathematikern und Nicht-Mathematikern praktiziert, z. B. beim Einschätzen der Gewissheit über die Geschichte, die von einem Kind nach Streitigkeiten aufgetischt wird.

1812 – Klassische Wahrscheinlichkeit (nach Pierre-Simon Laplace)

Wie bereits oben beschrieben gilt seit Laplace der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff P (E) =

Laplace Formel

(allerdings nur bei Laplace Experimenten)

1919 – Statistische Wahrscheinlichkeit (nach Richard von Mises)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses P (E) wird hier verstanden als relative Häufigkeit des Ereignisses bei unendlich vielen Versuchen:

Mises Formel

1933 – Axiomatische Wahrscheinlichkeit (nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow)

Kolmogorow versteht Wahrscheinlichkeit als 1-stufiges Baumdiagramm, in welchem jedem Elementarereignis eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet ist. Diese Zuordnung überträgt er in ein 2D-Koordinatensystem:

  • Elementarereignisse → x-Achse
  • Wahrscheinlichkeit → y-Achse

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sind folgende 3 Axiome (Behauptungen) erfüllt, spricht man von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

  • Jedes Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1
    0 ≤ P (E) ≤ 1
  • Das Ereignis, dass ein beliebiges Ergebnis eintritt ist zu 100% sicher (sicheres Ereignis)
    P (Ω) = 1
  • Haben zwei Ereignisse keine gemeinsamen Elemente (die Ereignisse sind unvereinbar oder disjunkt), so lässt sich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des einen ODER anderen Ereignisses P ( E1 ∪ E2 ) berechnen mit P (E1) + P (E2)

    Als Beispiel nehmen wir einen 1-stufigen Würfelwurf und die beiden Ereignisse E1 „gerade Zahl“ und E2 „ungerade Zahl“. Die Ereignisräume sind offensichtlich disjunkt oder unvereinbar miteinander, da es keine gemeinsame Schnittmenge gibt. Die Wahrscheinlichkeit eine gerade oder ungerade Zahl zu würfeln ist P (E1) + P (E2) = 0,5 + 0,5 = 1.


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