Wahrscheinlichkeitsrechnung I – Zufallsexperimente

Ausgangspunkt aller Wahrscheinlichkeitsrechnung ist das Zufallsexperiment: Ein beliebig oft wiederholbarer Vorgang, dessen tatsächlicher Ausgang (das Ergebnis) nicht vorhersagbar ist, bspw. das wahllose Herausgreifen von Menschen aus einer Menschenmenge in der Innenstadt mit den individuellen Haarfarben als mögliche Ergebnisse.

Merkmal

In Zufallsexperimenten untersucht man unterscheidbare Eigenschaften (Merkmalsausprägung) einer Person oder Sache (Merkmalsträger) hinsichtlich eines Kriteriums (Merkmal):

Merkmal

Zufallsexperimente modellieren (Baumdiagramm)

Das Baumdiagramm ist das ultimative Hilfswerkzeug zum Modellieren von Zufallsexperimenten: Man startet irgendwo auf dem Papier oder Bildschirm und zeichnet alle Merkmalsausprägungen eines Merkmals in eine beliebige Richtung.

Baumdiagramm

Mehrstufige Zufallsexperimente

Je nach Anzahl der Versuche (Ziehungen) wiederholt man diesen Schritt an jeder einzelnen Merkmalsausprägung:

Baumdiagramm 2-stufig

Elementarereignis

Die unterschiedlichen Merkmalsausprägungen nennen wir Elementarereignisse, in unserem Beispiel nur die drei Haarfarben Blond, Braun und Schwarz.

Ergebnis

Der tatsächliche Ausgang eines Zufallsexperiments ist das Ergebnis. In unserem Beispiel ziehen wir zunächst einen blonden und danach einen weiteren blonden Menschen:

Baumdiagramm Ergebnis

Ergebnisraum

Die Menge aller möglichen Versuchsausgänge nennen wir den Ergebnisraum Ω:

Baumdiagramm Ergebnisraum

Ereignisraum

Die Menge aller für uns interessanten Ergebnisse ist der Ereignisraum E, bspw. das Ziehen von zwei bzgl. ihrer Haarfarbe gleichfarbigen Menschen:

Baumdiagramm Ereignisraum

Ereignis

Kommt das tatsächliche Ergebnis im Ereignisraum vor spricht man von einem Ereignis:

  1. Wir ziehen nacheinander zwei Menschen mit brauner Haarfarbe → Ergebnis = {Braun; Braun}
  2. Das Ergebnis {Braun; Braun} ist in der Ereignismenge {(Blond; Blond),(Braun; Braun),(Schwarz; Schwarz)} enthalten → Das Ereignis E (gleiche Haarfarbe) ist eingetreten.

Mächtigkeit

Mächtigkeit ist der mathematische Begriff für Anzahl (von Elementen in einer Menge).

  • Die Anzahl der Ergebnisse im Ergebnisraum heißt Mächtigkeit des Ergebnisraumes |Ω|
  • Die Anzahl der Ergebnisse im Ereignisraum heißt Mächtigkeit des Ereignisraums |E|

Baumdiagramm Mächtigkeit


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